Hölder Ungleichung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich soll auf folgende Weise die Hölderungleichung zeigen:
Ich weiß, dass [mm] \bruch{x^p}{p}+\bruch{y^q}{q}\ge [/mm] xy ist, für alle x,y > 0, mit [mm] \bruch{1}{p}+\bruch{1}{q} [/mm] = 1.
Daraus soll nun [mm] x_1y_1+...+x_ny_n \le (x_1^p+...+x_n^p)^{\bruch{1}{p}} (y_1^q+...+y_n^q)^{\bruch{1}{q}} [/mm] gefolgert werden.
Wie kann ich hier vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Di 26.06.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
aus der Ungleichung folgt für [mm] \alpha_i>0 [/mm] und [mm] \beta_i>0 [/mm] sowie [mm] \bruch{1}{p}+\bruch{1}{q}=1
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}\alpha_i*\beta_i\le\bruch{1}{p}\summe_{i=1}^{n}\alpha_i^p+\bruch{1}{q}\summe_{i=1}^{n}\beta_i^q
[/mm]
setzte [mm] \alpha_i=\bruch{x_i}{\parallel x\parallel}_p [/mm] und [mm] \beta_i=\bruch{x_i}{\parallel x\parallel}_q [/mm] dann gilt
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{x_i}{\parallel x\parallel}_p*\bruch{y_i}{\parallel y\parallel}_q\le\bruch{1}{p}\summe_{i=1}^{n}\bruch{x_i^p}{\parallel x\parallel_p^p} [/mm] + [mm] \bruch{1}{q} \summe_{i=1}^{n} \bruch{y_i^q}{\parallel y\parallel_q^q}=1
[/mm]
Also die Höldersche Ungleichung
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